Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2|x-a|．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若a=

1

2

，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）為偶函數(shù)，所以可由定義得f（-x）=f（x）恒成立，然后化簡(jiǎn)可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（-1）=f（1），化簡(jiǎn)即可，但必須檢驗(yàn)．
（Ⅱ）分x≥

1

2

，x＜

1

2

，將絕對(duì)值去掉，注意結(jié)合圖象的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，寫(xiě)出單調(diào)增區(qū)間，注意之間用“和”．
（Ⅲ）先整理f（x-1）≥2f（x）的表達(dá)式，有絕對(duì)值的放到左邊，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a討論，首先去掉絕對(duì)值，然后整理成關(guān)于x的一元二次不等式恒成立的問(wèn)題，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，從而求出a的范圍，最后求它們的交集．

解答： 解：（Ⅰ）解法一：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=-x²+2|x-a|
又函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
所以任取x∈R，則f（-x）=f（x）恒成立，
即-（-x）²+2|-x-a|=-x²+2|x-a|恒成立．…（3分）
所以|x-a|=|x+a|恒成立，
兩邊平方得：x²-2ax+a²=x²+2ax+a²
所以4ax=0，因?yàn)閤為任意實(shí)數(shù)，所以a=0…（5分）
    解法二（特殊值法）：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
所以f（-1）=f（1），得|1-a|=|1+a|，得：a=0
所以f（x）=-x²+2|x|，
故有f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)…（5分）
（Ⅱ）若a=

1

2

，則f(x)=-x2+2|x-

1

2

|=

-x2-2x+1，x＜ 1 2 -x2+2x-1，x≥ 1 2

．…（8分）
由函數(shù)的圖象并結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]和[

1

2

，1]…（10分）
（Ⅲ）不等式f（x-1）≥2f（x）化為-（x-1）²+2|x-1-a|≥-2x²+4|x-a|，
即：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x²+2x-1（*）
對(duì)任意的x∈[0，+∞）恒成立．
因?yàn)閍＞0．所以分如下情況討論：
①0≤x≤a時(shí)，不等式（*）化為-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²+4x+1-2a≥0對(duì)任意的x∈[0，a]恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=x²+4x+1-2a在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞增，
則g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得a≤

1

2

，
又a＞0所以0＜a≤

1

2

…（12分）
②a＜x≤1+a時(shí)，不等式（*）化為4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²-4x+1+6a≥0對(duì)任意的x∈（a，1+a]恒成立，
由①，0＜a≤

1

2

，知：函數(shù)h（x）=x²-4x+1+6a在區(qū)間（a，1+a]上單調(diào)遞減，
則只需h（1+a）≥0即可，即a²+4a-2≥0，得a≤-2-

6

或a≥

6

-2．
因?yàn)?span id="qnrqp2s" class="MathJye">

6

-2＜

1

2

所以，由①得

6

-2≤a≤

1

2

．…（14分）
③x＞1+a時(shí)，不等式（*）化為4（x-a）-2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²+2a-3≥0對(duì)任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)φ（x）=x²+2a-3在區(qū)間（a+1，+∞）上單調(diào)遞增，
則只需φ（a+1）≥0即可，
即a²+4a-2≥0，得a≤-2-

6

或a≥

6

-2，由②得

6

-2≤a≤

1

2

．
綜上所述得，a的取值范圍是

6

-2≤a≤

1

2

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)的綜合題，考查了函數(shù)的重要性質(zhì)--奇偶性和單調(diào)性，同時(shí)考查了函數(shù)恒成立的一個(gè)常用結(jié)論：a＞f（x）恒成立，只要a＞f（x）的最大值；a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）的最小值．還重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)中一個(gè)重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法--分類討論．本題屬于難題．