Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=4a_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），且b₁=2，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，只需證明數(shù)列的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)為常數(shù)即可，先根據(jù)當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，求出數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式，再求

an

an-1

，得道常數(shù)，即可證明．
（Ⅱ）先根據(jù)（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的遞推公式，代入b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），可得數(shù)列{b_n}的遞推公式，再用迭代法，即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）證明：由S_n=4a_n-3，n=1時，a₁=4a₁-3，解得a₁=1．
因?yàn)镾_n=4a_n-3，則S_n-1=4a_n-1-3（n≥2），
所以當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得an=

4

3

an-1．又a₁=1≠0，
所以{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

4

3

的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：因?yàn)?span id="71f5j5r" class="MathJye">an=(

4

3

)n-1，
由b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），得bn+1-bn=(

4

3

)n-1．
可得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3(

4

3

)n-1-1，（n≥2）．
當(dāng)n=1時上式也滿足條件．
所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=3(

4

3

)n-1-1．

點(diǎn)評：本題考查了利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系求通項(xiàng)公式，以及迭代法求通項(xiàng)公式．