在數(shù)列{a
n}中,
a1=,an+1=.
(1)計算a
2,a
3,a
4,猜想數(shù)列{a
n}的通項公式并加以證明;
(2)求證:
++…+≥對一切n∈N*成立.
分析:(1)數(shù)列{a
n}中,由
a1=,an+1=,分別令n=1,2,3,依次求出a
2,a
3,a
4,猜想數(shù)列{a
n}的通項公式并加以證明.
(2)由
an=,知
++…+=
++…+,故(
++…+)[6+7+…+(n+5)]≥(1+1+…+1)
2=n
2,由此能夠證明
++…+≥
.
解答:解:(1)數(shù)列{a
n}中,∵
a1=,an+1=,
∴
a2==
,
a3==
,
a4==
.
由此猜想:
an=.
證明:由
an+1=,知
=+,
∴{
}是等差數(shù)列,
∴
=+(n-1)×=
,
∴
an=.
(2)∵
an=,
∴
++…+=
++…+,
(
++…+)[6+7+…+(n+5)]≥(1+1+…+1)
2=n
2,
∴
++…+≥
=
.
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法和證明,考查不等式的證明.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在數(shù)列{a
n}中,
=1,
an=an-1+1(n≥2),則數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=
2-21-n
2-21-n
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在數(shù)列{a
n}中,a
1=,并且對任意n∈N
*,n≥2都有a
n•a
n-1=a
n-1-a
n成立,令b
n=
(n∈N
*).
(Ⅰ)求數(shù)列{b
n}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
}的前n項和為T
n,證明:
≤Tn<.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在數(shù)列{a
n}中,a=
,前n項和S
n=n
2a
n,求a
n+1.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在數(shù)列{a
n}中,a
1=a,前n項和S
n構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.
(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
在數(shù)列{a
n}中,a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102640452563663/SYS201311031026404525636018_ST/0.png)
,并且對任意n∈N
*,n≥2都有a
n•a
n-1=a
n-1-a
n成立,令b
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102640452563663/SYS201311031026404525636018_ST/1.png)
(n∈N
*).
(Ⅰ)求數(shù)列{b
n}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102640452563663/SYS201311031026404525636018_ST/2.png)
}的前n項和為T
n,證明:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102640452563663/SYS201311031026404525636018_ST/3.png)
.
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