Question

已知正項數(shù)列{a_n}的首項a₁=m，其中0＜m＜1，函數(shù)．
（1）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），證明是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），數(shù)列{b_n}滿足b_n=，試證明b₁+b₂+…+b_n＜．

Answer 1

【答案】分析：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、求數(shù)列的通項公式、求數(shù)列的前n項和、裂項法求和等數(shù)列知識和方法，
（1）根據(jù)所給函數(shù)及a_n+1=f（a_n）可得數(shù)列的遞推關(guān)系，由此獲得，數(shù)列是等差
數(shù)列得證，并由的通項公式進而得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù){a_n}滿足a_n+1≤f（a_n）可得，由此推得，然后由即得，由此問題得證．
解答：解：（1）∵f（x）=
∴
∴
∴是公差為2的等差數(shù)列
又
∴
∴
（2）由（1）知0＜a_n+1≤
∴
∴，…，，
則
而a₁=m，則
∵0＜m＜1，∴
∴，i=1，2，3，…，n
∴，i=1，2，3，…，n
∴（）
=；
∴b₁+b₂+…+b_n＜．
點評：本題綜合性較強，涉及了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、通項公式、求和公式等，注意解題思路分析，避免因為題意不清走了彎路，這點對于該題特別重要；
注意（2）中所使用的累加法，通過，…，的累加，獲得結(jié)果，從而是問題得以解決；
在證明b₁+b₂+…+b_n＜時，仍然使用了數(shù)列求和中常用的“裂項法”，使其和最終化為而得到解決．