(2013•韶關(guān)二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)的左右焦點為F1,F(xiàn)2,拋物線C:y2=2px以F2為焦點且與橢圓相交于點M(x1,y1)、N(x2,y2),點M在x軸上方,直線F1M與拋物線C相切.
(1)求拋物線C的方程和點M、N的坐標;
(2)設(shè)A,B是拋物線C上兩動點,如果直線MA,MB與y軸分別交于點P,Q.△MPQ是以MP,MQ為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?若是求出這個定值,若不是說明理由.
分析:(1)由c2=a2-b2即可得到橢圓的焦點,進而得到p即拋物線的方程,設(shè)點M的坐標寫出方程,與拋物線的方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù)得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程,由相切得到判別式△=0即可求出;
(2)設(shè)A(
y
2
1
4
y1)
,B(
y
2
2
4
,y2)
.即可表示出kMA,kMB,由△MPQ是以MP,MQ為腰的等腰三角形,可得kMA=-kMB.進而可證明kAB為定值.
解答:解:(1)由橢圓方程得半焦距c=
a2-(a2-1)
=1.
∴橢圓焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).
又拋物線C的焦點為(
p
2
,0)
,∴
p
2
=1
,解得p=2.∴拋物線C的方程:y2=4x.
∵點M(x1,y1)在拋物線C上,
y
2
1
=4x1
,直線F1M的方程為y=
y1
x1+1
(x+1)

代入拋物線C得
y
2
1
(x+1)2=4x(x1+1)2
,即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2
x1x2-(
x
2
1
+1)x+x1=0
         
∵F1M與拋物線C相切,∴△=(
x
2
1
+1)2-4
x
2
1
=0,∴x1=1.
∴M、N的坐標分別為(1,2)、(1,-2).    
(2)直線AB的斜率為定值-1.
證明如下:設(shè)A(
y
2
1
4
,y1)
,B(
y
2
2
4
,y2)

kMA=
y1-2
y
2
1
4
-1
=
4
y1+2
,同理kMB=
4
y2+2

∵△MPQ是以MP,MQ為腰的等腰三角形,∴kMA=-kMB
4
y1+2
+
4
y2+2
=0
,
化為y1+y2+4=0得y1+y2=-4.
∴kAB=
y2-y1
y
2
2
4
-
y
2
1
4
=
4
y1+y2
=
4
-4
=-1.
所以直線AB的斜率為定值-1.
點評:熟練掌握橢圓、拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與曲線相交相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程得根與系數(shù)的關(guān)系及△≥0、△MPQ是以MP、MQ為腰的等腰三角形可得kMA=-kMB等設(shè)解題的關(guān)鍵.
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a2
-
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b2
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10
2
10
2

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