Question

已知函數(shù)f(x)=ln

ex

2

-f′(1)x
（I）求f′（1）；
（II）求f （x）的單調(diào)區(qū)間和極值，
（皿）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對(duì)于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)數(shù)f′（x），再令x=1代入f′（x），即可求得f′（1）；
（II）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（皿）函數(shù)g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對(duì)于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，將其轉(zhuǎn)化為g（x）的最值問(wèn)題，只要g（x）的最大值小于等于0即可滿足；

解答：解：（I）∵f（x）=ln

ex

2

-f′（1）x，
∴f′（x）=

2

ex

×

e

2

-f′（1），
令x=1，可得f′（1）=1-f′（1），解得f′（1）=

1

2

；
（II）由（I）知：f′（x）=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

，
∵x＞0，∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）；
極大值為f（2）=0；
（皿）∵f（2）=0，
由（II）可知f（x）在（0，2）上的值域?yàn)椋海?∞，0）
要使對(duì)任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
可得函數(shù)g（x）的最大值小于等于0即可，
∵g（x）=x²-3ax+2a²-5，x∈（0，1），a≥1，
函數(shù)的對(duì)稱為x=

3a

2

≥

3

2

，開(kāi)口向上，
g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，g（x）＜g（0），
所g（x）的最大值為g（0）=2a²-5，
∴g（0）=2a²-5≤0，a≥1，
∴1≤a≤

10

2

；

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．