Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，x∈R，k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)k=e時(shí)，證明f（x）≥0恒成立；
（Ⅱ）若k＞0，且對于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)k=e時(shí)，求出函數(shù)的f'（x）=e^x-e，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，推出結(jié)果．
（Ⅱ）解法一：當(dāng)x=0時(shí)原不等式恒成立，所以k∈R，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式化簡為時(shí)，不等式化簡為$k＜\frac{e^x}{x}$，$令g（x）=\frac{e^x}{x}，則g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，利用單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果．
解法二：f'（x）=e^x-k=0可得x=lnk．通過①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的最值，圖象結(jié)果即可．

解答 （本題滿分12分）
（Ⅰ）證明：當(dāng)k=e時(shí)，f（x）=e^x-ex，∴f'（x）=e^x-e
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）；
所以函數(shù)有最小值為f（1）=e-e=0，所以f（x）≥0恒成立． …（5分）
（Ⅱ）解法一：當(dāng)x=0時(shí)原不等式恒成立，所以k∈R…（6分）
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式化簡為時(shí)，不等式化簡為$k＜\frac{e^x}{x}$$令g（x）=\frac{e^x}{x}，則g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$；∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
因?yàn)間（x）_min=g（1）=e，所以k＜e；…（11分）
又k＞0，所以0＜k＜e．…（12分）
解法二：f'（x）=e^x-k=0可得x=lnk．
①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此時(shí)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．…（8分）
②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，lnk＞0．當(dāng)x變化時(shí)f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由此可得，在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意k-klnk＞0又k＞1所以1＜k＜e．  …（11分）
由①②得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，分類討論思想的應(yīng)用．