已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,且
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)若對任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若,數(shù)列{cn}滿足:,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)由,知Sn=nan-an(n-1),an+1=Sn+1-Sn,由此能夠證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(Ⅱ)由an=1+2a(n-1),對任意的正整數(shù)n恒成立,知1+2a(n-1)≤2n3-13n2+11n+1對任意的正整數(shù)n恒成立,故a≤對任意的正整數(shù)n恒成立,由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(Ⅲ)由a=,知an=n,,因?yàn)閷θ我庹麛?shù)k,都存在正整數(shù)p,q,使ck=cpcq,所以,由此能夠求出結(jié)果.
解答:(Ⅰ)證明:∵,
∴Sn=nan-an(n-1),an+1=Sn+1-Sn,…(2分)
∴an+1=[(n+1)an+1-a(n+1)n]-[nan-an(n-1)]
化簡得:an+1-an=2a(常數(shù)),…(4分)
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公差為2a的等差數(shù)列;…(5分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),
對任意的正整數(shù)n恒成立,
∴1+2a(n-1)≤2n3-13n2+11n+1對任意的正整數(shù)n恒成立,…(6分)
∴a≤對任意的正整數(shù)n恒成立,…(7分)
∴a不大于,n∈Z+最小值.
==n2-=(n-2-,n∈Z+
∴當(dāng)n=3時,取最小值=-20.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-20].…(10分)
(Ⅲ)解:∵an=1+2a(n-1),a=,
∴an=n,又∵,
設(shè)對任意正整數(shù)k,都存在正整數(shù)p,q,使ck=cpcq,

…(14分)
令q=k+1,則p=k(k+2012)或q=2k,p=2k+2012,
∴ck=ck(k+2012)•ck+1(或)ck=c2k+2012•c2k.…(16分)
點(diǎn)評:本題考查等差數(shù)列的證明,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查實(shí)數(shù)取值的判斷.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an2-(a-1)n
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)若an≤2n3-13n2+11n+1對任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若a=
1
2
,數(shù)列{cn}滿足:cn=
an
an+2012
,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在說明理由.

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已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且an=
Sn
n
+a(n-1)

(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)若bn=3n+(-1)nan,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若a=
1
2
,數(shù)列{cn}滿足:cn=
an
an+2011
,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且數(shù)學(xué)公式
(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)若數(shù)學(xué)公式,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若數(shù)學(xué)公式,數(shù)列{cn}滿足:數(shù)學(xué)公式,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.

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已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且
(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)若,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若,數(shù)列{cn}滿足:,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.

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