Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T(mén)_n，T_n=2

n(n+1)

2

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_nlog₂a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得T_n=a₁×a₂×a₃×…×a_n=2

n(n+1)

2

，T_n-1=a₁×a₂×a₃×…×a_n-1=2

n(n-1)

2

，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T(mén)_n，T_n=2

n(n+1)

2

（n∈N^*），
∴T_n=a₁×a₂×a₃×…×a_n=2

n(n+1)

2

，①
T_n-1=a₁×a₂×a₃×…×a_n-1=2

n(n-1)

2

，②

①

②

，得：a_n=2

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=2ⁿ．
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．