Question

正四面體的內(nèi)切球（與正四面體的四個(gè)面都相切的球）與外接球（過正四面體四個(gè)頂點(diǎn)的球）的體積比為（ ）
A．1：3
B．1：9
C．1：27
D．與正四面體的棱長(zhǎng)無關(guān)

Answer 1

【答案】分析：作出正四面體A-BCD的高DE，延長(zhǎng)CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF．在△CDG中加以研究，可得DE、CF的交點(diǎn)I就是內(nèi)切球和外接球公共的球心，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1，可算出CE、GE、ED的長(zhǎng)，利用Rt△DEG∽R(shí)t△CEI得線段成比例，從而得出EI=，DI=，由此不難得到R與r的比值，從而得出體積比．
解答：解：過點(diǎn)D作DE⊥平面ABC，垂足為E，則E是正三角形ABC的中心
則根據(jù)球的對(duì)稱性和正四面體的性質(zhì)，得外接球和內(nèi)切球的球心在同一點(diǎn)處，設(shè)為I，則I在高線DE上
延長(zhǎng)CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF，則I在CF上
I到平面ABC的距離IE等于內(nèi)切球半徑r，ID=IC=R是外接球半徑
設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1，則
正△ABC中，CG=，CE=CG═，GE=CG=，
Rt△DEG中，DG=CG=，可得DE==
∵Rt△DEG∽R(shí)t△CEI，
∴=，即 ：EI=：，可得EI=，所以ID=DE-EI=即r=，R=，
可得 =1：3，體積比為1：27．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題給出正四面體的外接球與內(nèi)切球，求它們的體積之比，著重考查了正四面體的性質(zhì)和球的內(nèi)接、外切幾何體等知識(shí)，屬于中檔題．