Question

（2012•許昌一模）某次體育比賽團(tuán)體決賽實(shí)行五場(chǎng)三勝制，且任何一方獲勝三場(chǎng)比賽即結(jié)束．甲，乙兩個(gè)代表隊(duì)最終進(jìn)入決賽，根據(jù)雙方排定的出場(chǎng)順序及以往戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)分析，甲隊(duì)依次派出的五位選手分別戰(zhàn)勝對(duì)手的概率如下表：

出場(chǎng)順序	1號(hào)	2號(hào)	3號(hào)	4號(hào)	5號(hào)
獲勝概率	1 2	p	q	1 2	2 5

若甲隊(duì)橫掃對(duì)手獲勝（即3：0獲勝）的概率是

1

8

，比賽至少打滿4場(chǎng)的概率為

3

4

（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲隊(duì)獲勝場(chǎng)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用甲隊(duì)橫掃對(duì)手獲勝（即3：0獲勝）的概率是

1

8

，比賽至少打滿4場(chǎng)的概率為

3

4

，建立方程組，即可求p，q的值；
（Ⅱ）求得甲隊(duì)獲勝場(chǎng)數(shù)的可能取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意

1 2 pq= 1 8 1- 1 8 -(1- 1 2 )(1-p)(1-q)= 3 4

∴p=q=

1

2

；
（Ⅱ）設(shè)甲隊(duì)獲勝場(chǎng)數(shù)為ξ，則ξ的可取的值為0，1，2，3
P（ξ=0）=(

1

2

)3=

1

8

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

1

2

=

3

16

；
P（ξ=2）=

C

2 4

•(

1

2

)2•(

1

2

)2•

3

5

=

9

40

；P（ξ=3）=(

1

2

)3+

C

2 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

1

2

+

C

2 4

•(

1

2

)2•(

1

2

)2•

2

5

=

37

80

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 16	9 40	37 80

Eξ=0×

1

8

+1×

3

16

+2×

9

40

+3×

37

80

=

81

40

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)的運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．