Question

7．若橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1（m＞n＞0）$與曲線x²+y²=m-n無交點，則橢圓的離心率e的取值范圍為$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1（m＞n＞0）$與曲線x²+y²=m-n無交點，可得m-n＞m，或0＜m-n＜n，利用橢圓的離心率e=$\sqrt{1-\frac{n}{m}}$，即可得出．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1（m＞n＞0）$與曲線x²+y²=m-n無交點，
∴m-n＞m，或0＜m-n＜n，
m-n＞m，舍去．
由0＜m-n＜n，可得：$\frac{n}{m}$＞$\frac{1}{2}$．
則橢圓的離心率e=$\sqrt{1-\frac{n}{m}}$∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
故答案為：$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．