Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到A₁DE的位置，使A₂C⊥CD，如圖2．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中點，求CM與平面A₁BE所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得DE⊥平面A₁CD，A₁C⊥DE，由此能證明A₁C⊥平面BCDE．
（2）以C為原點，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出CM與平面A₁BE所成角．

解答： （1）證明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，
∴DE⊥平面A₁CD，又∵A₁C?平面A₁CD，
∴A₁C⊥DE，∵A₁C⊥CD，
∴A₁C⊥平面BCDE．
（2）解：以C為原點，CB為y軸，CA為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（-2，0，0），A₁（0，0，2

3

），B（0，3，0），
E（-2，2，0），

A1B

=（0，3，-2

3

），

BE

=（-2，-1，0），
設平面A₁BE的法向量

n

=（x，y，z），
則

A1B • n =3y-2 3 z=0 BE • n =-2x-y=0

，取x=-1，得

n

=（-1，2，

3

），
M（-1，0，

3

），

CM

=(-1，0，

3

)，
cosθ=

CM • n

| CM |•| n |

=

4

2•2 2

=

2

2

，
∴CM與平面A₁BE所成角為45°．

點評：本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．