Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²+cx+d有極值．
（Ⅰ）求c的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極值，且當x＜0時，f（x）＜d²+2d恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數(shù)解析式f（x）=x³-x²+cx+d，我們易求出導函數(shù)f′（x）的解析式，然后根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-x²+cx+d有極值，方程f′（x）=x²-x+c=0有兩個實數(shù)解，構造關于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極值，則f′（2）=0，求出滿足條件的c值后，可以分析出函數(shù)f（x）=x³-x²+cx+d的單調性，進而分析出當x＜0時，函數(shù)的最大值，又由當x＜0時，f（x）＜d²+2d恒成立，可以構造出一個關于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范圍．
解答：解（Ⅰ）∵f（x）=x³-x²+cx+d，
∴f′（x）=x²-x+c，要使f（x）有極值，則方程f′（x）=x²-x+c=0有兩個實數(shù)解，
從而△=1-4c＞0，
∴c＜．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=x³-x²-2x+d，
∵f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
∴當x∈（-∞，-1]時，f′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，當x∈（-1，2]時，f′（x）＜0，函數(shù)單調遞減．
∴x＜0時，f（x）在x=-1處取得最大值，
∵x＜0時，f（x）＜恒成立，
∴＜，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范圍是（-∞，-7）∪（1，+∞）．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，導數(shù)在最大值，最小值問題中的應用，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)的解析式，是解答本題的關鍵．