已知△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O．若|
OA
|=|
AB
|，且2
OA
+
AB
+
AC
=0，則
CA
•
CB
等于（　�。�
A、
3
B、2
3
C、
3
2
D、3
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由已知2
OA
+
AB
+
AC
=0，得到
OB
+
OC
=
0
，說明O為邊BC的中點，得到△ABC是直角三角形，∠A為直角．再由|
OA
|=|
AB
|，得到△AOB為正三角形，求得角B的值，在直角三角形BAC中進一步求得角C及邊AC的長，代入數(shù)量積公式求得
CA
•
CB
的值．
解答： 解：∵2
OA
+
AB
+
AC
=
0
，
∴
OA
+
AB
+
OA
+
OC
=
0
，
則
OB
+
OC
=
0
，
∴O為BC的中點，故△ABC是直角三角形，∠A為直角．
又|
OA
|=|
AB
|，∴△AOB為正三角形，
則∠B=60°，
在Rt△BAC中，由AB=1，BC=2，得AC=
3
，即
|
CA
|=
3
，|
CB
|=2，且
CA
與
CB
的夾角為30°，
由數(shù)量積公式可得
CA
•
CB
=|
CA
||
CB
|cos30°=
3
×2×
3
2
=3
故選：D．
點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，在三角形ABC中，若
OA
+
OB
+
OC
=
0
，則O為三角形ABC的外心，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知某三棱錐的三視圖如表示，
（1）求此三棱錐的表面積和體積；
（2）求它的外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l上的兩點A（-4，1），B（x，-3）且直線l的傾斜角為135°，則x=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
都是單位向量，且|
a
-
b
|=
2
，則
a
(
a
+
b
)的值為（　　）
A、-1
B、
2
C、0
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知空間上的兩點A（-1，2，1）、B（-2，0，3），以AB為體對角線構(gòu)造一個正方體，則該正方體的體積為（　�。�
A、3
B、2
3
C、9
D、3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式
x-2
x-3
＞0的解集是（　�。�
A、（2，3）
B、（3，+∞）
C、（2，+∞）
D、（-∞，2）（3，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
sinxcosx-1．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）當x∈[-
π
12
，
π
2
]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點P（4，2）作圓x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A、B，O為坐標原點，則△OAB的外接圓方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點N（a，b）滿足方程關(guān)系式a2+b2-2a=0，則u=
b
a+1
的最大值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案