已知圓C:x2+y2-8x+4y+16=0
(1)若直線l過點A(3,0),且被圓C截得的弦長為2
3
,求直線l的方程;
(2)設(shè)直線l:mx-(m2+1)y=4m,m∈R,問直線l能否將圓C分割成弧長的比值為
1
2
的兩段圓?為什么?
分析:(1)若直線l的斜率存在,則直線可以設(shè)為:y=k(x-3),由垂徑定理可求圓心C到直線l的距離d,然后利用點到直線距離公式可求斜率k;若直線l的斜率不存在,則直線可以設(shè)為:x=3,代入檢驗是否滿足題意
(2)若存在滿足題意的直線l,則直線l所對的圓心角為120°,結(jié)合圓的性質(zhì)可得弦心距d=
1
2
r
,結(jié)合點到直線的距離公式可求m是否存在
解答:解:(1)若直線l的斜率存在,設(shè)為k,則過點A(3,0)的直線可以設(shè)為:y=k(x-3)…(1分)
圓方程 x2+y2-8x+4y+16=0可以化為:(x-4)2+(y+2)2=4
所以圓心為:C(4,-2),半徑為2…(2分)
由于弦長為2
3
,所以由垂徑定理得,圓心C到直線l的距離d=
22-(
2
3
2
)2=1
,…(3分)
結(jié)合點到直線距離公式,得:
|k+2|
k2+1
=1
解得:k=-
3
4
…(4分)
所以,直線l的方程為:y=-
3
4
(x-3)
化簡得:3x+4y-9=0…(5分)
若直線l的斜率不存在,則過點A(3,0)的直線可以設(shè)為:x=3.
此時圓心C(4,-2)到它的距離等于1,符合題意…(7分)
所以所求直線方程為:x=3和  3x+4y-9=0…(8分)
(2)若直線l能將圓C分割成弧長的比值為
1
2
的兩段圓弧,則直線l所對的圓心角為1200…(10分)
由圓的性質(zhì)可知,弦心距d=
1
2
r
=1…(11分)
所以
|4m+2(m2+1)-4m|
m2+(m2+1)2
=1
…(12分)
|2(m2+1)|=
m2+(m2+1)2
所以:3m4+5m2+3=0而此方程無解,…(13分)
所以直線l不能將圓C分割成弧長的比值為
1
2
的兩段圓弧…(14分)
點評:本題主要考查了直線與圓相交關(guān)系的應用,解題的關(guān)鍵是垂徑定理及點到直線距離公式的靈活應用.
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7
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(2)當r=1時,試證明:點B一定是單位圓C上的有理點;(說明:坐標平面上,橫、縱坐標都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道,一個有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當0<k<1時,是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡述你的理由.

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x
a
y
b
=1
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