【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的漸近線方程為y2x,且該雙曲線過點(diǎn)(2,2).

1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)點(diǎn)A為雙曲線C上任一點(diǎn),F1F2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn),過其中的一個(gè)焦點(diǎn)作∠F1AF2的角平分線的垂線,垂足為點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程.

【答案】1.(2

【解析】

1)根據(jù)漸近線方程,設(shè)出雙曲線方程,根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上,求出參數(shù)值,即可得到結(jié)果;

2)根據(jù)題意,由三角形全等,結(jié)合雙曲線的定義,推出點(diǎn)滿足的條件,根據(jù)圓的定義,即可寫出其軌跡方程.

1)根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程是y2x

則設(shè)雙曲線方程為:4x2y2=λ,(λ0),

點(diǎn)(2,2)代入得:λ=12,

則雙曲線方程為:4x2y2=12,

1.

2)∵F1,F2是雙曲線1的左右焦點(diǎn),

F2作角的平分線AB的垂線,垂足為P,

并且交AF1Q,連接OP

如下圖所示:

//,

顯然

故|AQ|=|AF2|,

∴|F1Q|=|AF1|﹣|AQ|=|AF1|﹣|AF2|=2a,

∴|OP|=a

由圓的定義可知,點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O為圓心,為半徑的圓,

所以P的軌跡方程為:x2+y2=3.

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A.B.C.D.

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