已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝4，延長CB至D，使CB＝BD．

(Ⅰ)求證：直線C1B∥平面AB1D；

(Ⅱ)求平面AB1D平面ACB所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)連結(jié)C1B則C1B1＝CB＝DB，又C1B1∥BD，

　　所以，四邊形C1BDB1是平行四邊形，　　　　　　　　(4分)

　　所以，C1B∥B1D，又B1D平面AB1D，

　　所以，直線C1B∥平面AB1D．　　　　　　　　　　　　　(7分);

　　(Ⅱ)在△ACD中，由于CB＝BD＝BA，

　　所以，∠DAC＝90°，

　　以A為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則

　　A(0，0，0)，B1(，1，4)，D(2，0，0)

　　，　　　　　　　　　　(10分)

　　設(shè)平面AB1D的法向量n＝(x，y，z)，則

　　

　　所以取z＝1，則n＝(0，－4，1)　　　　　(12分)

　　取平面ACB的法向量為m＝(0，0，1)

　　則

　　所以，平面AB1D與平面ACB所成角的正弦值為　　　(14分)


提示：

本題主要考查空間線面、面面的位置關(guān)系等基本知識，同時考查空間想象能力．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為h（h＞2），動點M在側(cè)棱BB1上移動．設(shè)AM與側(cè)面BB1C1C所成的角為θ．
（1）當(dāng)θ∈[
π
6
，
π
4
]時，求點M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）當(dāng)θ=
π
6
時，求向量
AM
與
BC
夾角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a，M為棱A1C1上的動點．
（1）當(dāng)M在何處時，BC1∥平面MB1A，并證明之；
（2）在（1）下，求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大��；
（3）求B-AB1M體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面邊長為8，對角線B1C=10，
（1）若D為AC的中點，求證：AB1∥平面C1BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB1，當(dāng)λ為何值時，AP∥平面C1BD；
（3）在（1）的條件下，求直線AB1到平面C1BD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=1．
（1）求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）求證：A1C∥平面AB1D；
（3）求二面角B-AB1-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a，P為棱A1B上的動點．
（Ⅰ）試確定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點C1到面PAC的距離．

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