Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，
AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

Answer 1

（1）見解析；（2）120°.

本試題主要考查了立體幾何中的面面垂直和二面角的求解運算。
解：（Ⅰ）連接BD，取DC的中點G，連接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△ABC為直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K為垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．
SB2=" SD2+DB2" =" 6," DE=SDDB /SB = ,
EB2=" DB2-DE2" =  ，SE=SB-EB=所以SE=2EB
(2) 由SA=" SD2+AD2" =" 5" ，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE=" (1" /3 SA)2+(2 /3 AB)2 =1，又AD=1．
故△ADE為等腰三角形．
取ED中點F，連接AF，則AF⊥DE，AF2=" AD2-DF2" =．
連接FG，則FG∥EC，F(xiàn)G⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．
連接AG，AG=" 2" ，F(xiàn)G2=" DG2-DF2" = ，
cos∠AFG="(AF2+FG2-AG2" )/2?AF?FG ="-1" /2 ，
所以，二面角A-DE-C的大小為120°