Question

（本小題滿分12分）

已知冪函數(shù)y=f₁（x）的圖象過點（2，4），反比例函數(shù)y=f₂（x）的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．  （1）求函數(shù)f（x）的表達式；   （2）當a＞3時，求函數(shù)g（x）= f（x）－f（a）的零點的個數(shù)．

Answer 1

(Ⅰ)  f（x）=x²+  (Ⅱ)   三個

解析:

（1）由已知，設(shè)f₁（x）=xⁿ，由f₁（2）=4，得n=2；∴f₁（x）=x²．

設(shè)f₂（x）=，則其圖象與直線y=x的交點分別為A（，），B（－，－）；且；由AB=8，解得k=8；

∴f₂（x）=，∴f（x）=x²+．

   （2）求函數(shù)g（x）= f（x）－f（a）的零點的個數(shù)，

即求方程f（x）－f（a）=0解的個數(shù)；由f（x）=f（a），

得x²+=a²+，即=－x²+a²+．

在同一坐標系內(nèi)作出f₂（x）=和f₃（x）=－x²+a²+的大致圖象（如圖所示），

其中f₂（x）的圖象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f₃（x）的圖象是以點（0，a²+）為頂點，開口向下的拋物線；f₂（x）與f₃（x）的圖象在第三象限有一個交點，即f（x）=f（a）有一個負數(shù)解．

又∵f₂（2）=4，f₃（2）=－4+a²+，當a＞3時，f₃（2）－f₂（2）=a²+－8＞0；

∴當a＞3時，f₃（x）在第一象限的圖象上存在一點（2，f₃（2））在f₂（x）圖象的上方．

∴f₂（x）與f₃（x）的圖象在第一象限有兩個交點，即f（x）=f（a）有兩個正數(shù)解．

∴方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解，即函數(shù)g（x）= f（x）－f（a）的零點有三個．