Question

9．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：①?x∈R，有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立；②?x₀∈R，使f（x₀）≠0，則下列結論中錯誤的是（　�。�

• A． f（0）=2
• B． 函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
• C． 函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
• D． [f（x）+1][f（x）-1]=f（2x）+1

Answer 1

分析 令x=y=0計算f（0），再令y=0進行驗證，即可得出f（0），令x=0判斷函數(shù)的奇偶性，令x=y判斷D選項．

解答 解：令x=y=0，得f²（0）=2f（0），
∴f（0）=0或f（0）=2，
若f（0）=0，令y=0，得f（x）f（0）=2f（x），
∴f（x）=0，與②矛盾．
∴f（0）=2，∴f（x）不是奇函數(shù)．故A正確，C錯誤．
令x=0得2f（y）=f（y）+f（-y），
∴f（y）=f（-y），∴f（x）是偶函數(shù)．故B正確．
令x=y得f²（x）=f（2x）+f（0）=f（2x）+2，
∴[f（x）+1][f（x）-1]=f²（x）-1=f（2x）+2-1=f（2x）+1，故D正確．
故選C．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，理解x，y的任意性是解題的關鍵，屬于中檔題．