在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若acosB-bcosA=
3
5
c，則tan（A-B）的最大值為
3
4
3
4
．
分析：利用正弦定理，將已知等式化簡整理得sinAcosB=4sinBcosA，兩邊同除以cosAcosB，得到tanA=4tanB．利用兩角差的正切公式，得tan（A-B）=
3tanB
1+4tan2B
=
3
1
tanB
+4tanB
，最后利用基本不等式求最值，可得當且僅當tanB=
1
2
時，tan（A-B）的最大值為
3
4
．
解答：解：∵acosB-bcosA=
3
5
c，
∴結合正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=
3
5
sinC，
∵C=π-（A+B），得sinC=sin（A+B）
∴sinAcosB-sinBcosA=
3
5
（sinAcosB+cosAsinB）
整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB
由此可得tan（A-B）=
tanA-tanB
1+tanAtanB
=
3tanB
1+4tan2B
=
3
1
tanB
+4tanB

∵A、B是三角形內角，且tanA與tanB同號
∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0
∵
1
tanB
+4tanB≥2
1
tanB
•4tanB
=4
∴tan（A-B）=
3
1
tanB
+4tanB
≤
3
4
，當且僅當
1
tanB
=4tanB，即tanB=
1
2
時，tan（A-B）的最大值為
3
4

故答案為：
3
4
點評：本題已知三角形邊角的一個關系式，求tan（A-B）的最大值，著重考查了正弦定理、兩角差的正切公式和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　�。�
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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