在平面直角坐標(biāo)系中圓心在直線(xiàn)y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(0.2)且被圓截得的弦長(zhǎng)為4的直線(xiàn)方程.
分析:(Ⅰ)由已知圓C的半徑,設(shè)出圓心坐標(biāo)為(a,b),寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,由圓心在直線(xiàn)y=x+4上,把圓心坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程,得到關(guān)于a與b的方程,再由圓C過(guò)原點(diǎn),把原點(diǎn)坐標(biāo)代入圓C方程,得到關(guān)于a與b的另一個(gè)方程,聯(lián)立兩方程可得出a與b的值,進(jìn)而確定出圓C的方程;
(Ⅱ)分兩種情況考慮:1′當(dāng)所求直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)出所求直線(xiàn)的斜率為k,由直線(xiàn)過(guò)(0,2)和k,表示出直線(xiàn)的方程,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線(xiàn)的距離d,同時(shí)由弦長(zhǎng)和半徑,利用垂徑定理及勾股定理求出弦心距d,得出關(guān)于k的方程,發(fā)現(xiàn)此方程無(wú)解,故k不存在;2′當(dāng)所求直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),經(jīng)過(guò)驗(yàn)證,得到直線(xiàn)x=0滿(mǎn)足條件,
綜上,得到所求直線(xiàn)的方程為x=0.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
∵r=2
2
,∴圓C:(x-a)2+(y-b)2=8,(1分)
又圓心在直線(xiàn)y=x+4上,且圓C過(guò)原點(diǎn)O,
b=a+4
a2+b2=8
,(3分)
解得:
a=-2
b=2
,(5分)
則所求圓的方程為:(x+2)2+(y-2)2=8;(6分)
(Ⅱ)分兩種情況考慮:
1′當(dāng)k存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)的方程為:y-2=kx,即kx-y+2=0,(7分)
∴圓心到直線(xiàn)的距離d=
|-2k-2+2|
k2+1
,(8分)
又r=2
2
,弦長(zhǎng)為4,
∴r2=22+d2,即d2=4,
解得:d=2,(9分)
|-2k-2+2|
k2+1
=2,即|k|=
k2+1
,
此方程無(wú)解,故k不存在;(10分)
2′當(dāng)k不存在時(shí),經(jīng)驗(yàn)證,直線(xiàn)方程為x=0,(11分)
綜上,所求直線(xiàn)的方程為x=0.(12分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,垂徑定理,以及勾股定理,利用了分類(lèi)討論的思想,是高考中常考的題型.當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí),常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn),進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半,圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.
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A.                            B.

C.                           D.

 

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A.         B.       

C.         D.

 

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