Question

已知橢圓，拋物線，過(guò)橢圓C₁右頂點(diǎn)的直線l交拋物線C₂于A，B兩點(diǎn)，射線OA，OB分別與橢圓交于點(diǎn)D，E，點(diǎn)O為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部；
（Ⅱ）記△ODE，△OAB的面積分別為S₁，S₂，問(wèn)是否存在直線l使S₂=3S₁？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：x=my+2，代入y²=4x，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y₁+y₂，y₁y₂，要證明點(diǎn)O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部；只要證明即可
（2）設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則射線，代入得，同理可得，代入檢驗(yàn)即可驗(yàn)證
解答：（1）證明：設(shè)直線l：x=my+2，代入y²=4x得y²-4my-8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4
∴=
∴∠AOB＞90°即∠DOE＞90°
∴點(diǎn)O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部
（2）設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
則射線，代入得，
同理
∴===
=
=
==9
∴m²=
故不存在滿足條件的直線l
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的 相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合性試題