在△中，已知 、，動點滿足.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設，，過點作直線垂直于，且與直線交于點，試在軸上確定一點，使得；

（3）在（II）的條件下，設點關于軸的對稱點為，求的值.

 

【答案】

（1）；（2）（4,0）；（3）4.

【解析】本試題考查了雙曲線的定義的運用，求解軌跡方程，以及直線與雙曲線的位置關系的綜合運用，結(jié)合數(shù)量積公式表示定值。

解：（I），∴ 動點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支除去其與x軸的交點.  …………………1分  

設雙曲線方程為.

由已知，得  解得       ∴.                                                     ∴動點的軌跡方程為.                   

注：未去處點（2，0），扣1分

（I）        由題意，直線的斜率存在且不為0，設直線l的方程x =2.

設的方程為.                             5分

     ∵點是與直線的交點，∴.設

     由  整理得             

  則此方程必有兩個不等實根

，且.                                              

      ∴  ∴.             

      設，要使得，只需

      由，，

∴  

∵此時∴所求的坐標為      

  （III）由（II）知，∴，.

  ∴.

∴ 

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，-1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且
OE
•
OF
=4．
（I）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）若
BC
=-8
CF
，
①試確定點F的坐標；
②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△PAB中，已知A（-
6
，0）、B（
6
，0），動點P滿足|PA|=|PB|+4．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設M（-2，0），N（2，0），過點N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點Q，試在x軸上確定一點T，使得PN⊥QT．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A（0，1），B（0，-1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且
OE
•
OF
=4．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）若
BC
=-8
CF
，
①試確定點F的坐標；
②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置，并證明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在△PAB中，已知數(shù)學公式、數(shù)學公式，動點P滿足|PA|=|PB|+4．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）設M（-2，0），N（2，0），過點N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點Q，，試在x軸上確定一點T，使得PN⊥QT；
（III）在（II）的條件下，設點Q關于x軸的對稱點為R，求數(shù)學公式的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

在△PAB中，已知、，動點P滿足|PA|=|PB|+4．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）設M（-2，0），N（2，0），過點N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點Q，，試在x軸上確定一點T，使得PN⊥QT；
（III）在（II）的條件下，設點Q關于x軸的對稱點為R，求的值．

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