Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的零點至少有兩個，求實數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）3

【解析】（1）第（1）問，直接利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)第（2）問， 至少有兩個根，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)a的最小值.

試題解析：

（1）當時， ，所以有，

令

所以當或時， ， 單調(diào)遞增；

當時， ， 單調(diào)遞減.

故的單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）令，其在區(qū)間內(nèi)至少有兩個根，則

至少有兩個根，

記，

所以，

記，

所以，

令（舍）

所以當時， ， 單調(diào)遞減， 時， ， 單調(diào)遞增，

所以的最小值為，

又，所以時， ，

又當時， ，

因此必存在唯一的，使得，

因此時， ， 單調(diào)遞增， ， ， 單調(diào)遞減，

時， ， 單調(diào)遞增，畫出的大致圖象，如圖所示，

因此函數(shù)的極小值為，極大值為，

又由于，

因此當時，或時，數(shù)形結(jié)合易知函數(shù)有2個零點，

當時，函數(shù)有3個零點.

綜合得函數(shù)的零點至少有兩個時，實數(shù)的最小值為3.