已知函數(shù)f（x）=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3
-
3
2

（1）求f（x）的最小正周期及其對(duì)稱(chēng)中心；
（2）如果三角形ABC的三邊 a．b．c 滿足b2=ac，且邊b所對(duì)角為 x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f（3x）的值域．
分析：（1）先利用輔助角公式以及降冪公式把函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為sin（
2x
3
+
π
3
），再利用周期和對(duì)稱(chēng)中心的求法代入即可求得結(jié)論．
（2）先利用余弦定理以及基本不等式得到cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，求出x∈（0，
π
3
]；再代入f（3x）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（3x）的值域．
解答：解：（1）f（x）=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3
-
3
2

=
1
2
sin
2x
3
+
3
1+cos
2x
3
2
-
3
2

=sin
2x
3
cos
π
3
+cos
2x
3
sin
π
3
=sin（
2x
3
+
π
3
）．
∴f（x）的最小正周期T=
2π
2
3
=3π（5分）
f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（
3kπ
2
-
π
2
，0）  （k∈Z）．（6分）
（2）∵b2=ac，∴cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
．（8分）
又x∈（0，π），∴x∈（0，
π
3
]，
而f（3x）=sin（2x+
π
3
），由2x+
π
3
∈（
π
3
，π]（10分）
∴f（3x）=sin（2x+
π
3
）∈[0，1]（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用以及三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)中心及其求法，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確利用輔助角公式以及降冪公式把函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當(dāng)x=
π
3
時(shí)，取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）對(duì)任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x），則稱(chēng)直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x-b
x
在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=2ax-
1
x2
是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對(duì)于（0，1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；
（2）如果對(duì)任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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