Question

2．已知 $\overrightarrow a$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，sinx+cosx），記函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求函數(shù)f（x）取最大值時(shí)x的取值集合；
（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2csinA，c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的乘積的運(yùn)算求出f（x）的解析式，化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解．
（2）利用正余弦定理求解a+b的值．

解答 解：（1）由題意，得$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
當(dāng)函數(shù)f（x）取最大值，即$sin（2x-\frac{π}{6}）$=1時(shí)：$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
解得：x=$kπ+\frac{π}{3}$，
所以：f（x）取最大值時(shí)x的取值集合為{x|x=$kπ+\frac{π}{3}$}；
（2）∵a=2csinA，
由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$
∴$\frac{2csinA}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$
∵sinA≠0，
∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
∵△ABC面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
解得：ab=6．①
∵c=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理得a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=7，
即a²+b²-ab=7．②
由②變形得（a+b）²=3ab+7．③
將①代入③得（a+b）²=25，
故a+b=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的乘積運(yùn)算以及三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用能力，考了正余弦定理的運(yùn)用．屬于中檔題．