設(shè)函數(shù)f(x)=x3+sinx,若數(shù)學(xué)公式時(shí),f(mcosθ)+f(1-m)>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是


  1. A.
    (0,1]
  2. B.
    (-∞,1)
  3. C.
    (-∞,1]
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式
B
分析:由于f(x)=x3+sinx,0≤θ≤,可求得f′(x)=3x2+cosx>0,可知f(x)為奇函數(shù),增函數(shù),然后可得f(mcosθ)>f(m-1),從而得出mcosθ>m-1,根據(jù)cosθ∈[0,1],即可求解.
解答:由函數(shù)f(x)=)=x3+sinx,可知f(x)為奇函數(shù),f′(x)=3x2+cosx,
又當(dāng)-1≤x≤1時(shí),cosx>0,x2>0,
∴f′(x)=3x2+cosx>0,
當(dāng)x<-1或x>1時(shí),x2>1,
∴f′(x)=3x2+cosx>0,
綜上所述,對(duì)任意x∈R,f′(x)=3x2+cosx>0
∴f(x)=)=x3+sinx是增函數(shù);
∵f(mcosθ)+f(1-m)>0恒成立,即f(mcosθ)>f(m-1)恒成立,
∴mcosθ>m-1,令g(m)=(cosθ-1)m+1,
當(dāng)0≤θ≤,mcosθ>m-1恒成立,等價(jià)于g(m)=(cosθ-1)m+1>0恒成立.
∵0≤θ≤,
∴cosθ∈[0,1],
∴cosθ-1≤0,
∴當(dāng)θ=0時(shí),(cos0-1)m+1>0恒成立,①
當(dāng)θ=時(shí),(cos-1)m+1>0恒成立,②
由①②得:m<1.
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)恒成立的問(wèn)題,難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)f(x)=x3+sinx單調(diào)性的判斷,需分類(lèi)討論,考查分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)的方法,屬于難題.
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(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(
12
,1)
內(nèi)不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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