如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A(8,0)、B(0,6)兩點(diǎn),P為直線l上異于A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn).且PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q.
(1)若△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S四OQPA=3S△PBQ時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M與P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)由△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S四OQPA=3S△PBQ,可得S△BOA=4S△PBQ,進(jìn)而根據(jù)S△BOA∽S△PBQ,可得到兩個(gè)三角形的相似比,進(jìn)而得到線段PQ的長;
(2)若△MPQ為等腰直角三角形,則O,P,M三點(diǎn)均有可能為直角頂點(diǎn),分析討論后,綜合討論結(jié)果,可得答案.
解答:解:(1)∵S四OQPA=3S△PBQ
∴S△BOA=4S△PBQ,
又∵PQ∥OA
∴S△BOA∽S△PBQ,
根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方,
可得S△BOA與S△PBQ的相似比為1:2
=
即PQ=OA=4
(2)由(1)可知直線l的方程為3x+4y=24…(*)

①若△MPQ為等腰直角三角形,Q為直角頂點(diǎn)
則此時(shí)M點(diǎn)與原點(diǎn)重合,設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a),則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a)
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入*得a=
即M,P的坐標(biāo)分別為(0,0)(,
②若△MPQ為等腰直角三角形,P為直角頂點(diǎn)
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a),則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a),M點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入*得a=
即M,P的坐標(biāo)分別為(,0)(,
③若△MPQ為等腰直角三角形,M為直角頂點(diǎn)
則|OM|=|OQ|=|PQ|
設(shè)Q(0,a),則M(a,0),點(diǎn)P坐標(biāo)為(2a,a)
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入(*)式 得a=
∴點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(,0),(
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì),直線方程與直線的交點(diǎn),其中(2)中要注意O,P,M三點(diǎn)均有可能為直角頂點(diǎn),要分類討論.
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(1)求直線lAB斜率的大。
(2)若S△PAQ=
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S四OQPB
時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
若不存在,說明理由.

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(1)若△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S四OQPA=3S△PBQ時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M與P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(1)求直線lAB斜率的大。
(2)若數(shù)學(xué)公式時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
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