Question

證明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R⁺，則

b+c

a

x2+

c+a

b

y2+

a+b

c

z²≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R⁺，且x+y+z=xyz，則

y+z

x

+

z+x

y

+

x+y

z

≥2（

1

x

+

1

y

+

1

z

）

Answer 1

分析：（1）把不等式的左邊減去右邊，配方為3個完全平方的和的形式，大于或等于零，從而得到不等式的左邊大于或等于右邊
（2）根據(jù)條件，把要證的不等式等價轉(zhuǎn)化為yz（y-z）²+xz（x-z）²+xy（x-y）²+x²（y-z）²+y²（x-z）²+z²（y-x）²≥0，而此式顯然成立，從而不等式得證．

解答：證明：（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R⁺，
∵

b+c

a

x2+

c+a

b

y2+

a+b

c

z2-2（xy+yz+xz）=（

b

a

x2+

a

b

y2-2xy）+（

c

a

y2+

a

c

z2-2yz）+（

c

a

x2+

a

c

z2-2xz）
=( 

b a

x-

a b

 y)2+(

c b

y-

b c

z)2+(

c a

x-

a c

z)2≥0，
∴

b+c

a

x2+

c+a

b

y2+

a+b

c

z²≥2（xy+yz+zx）成立．
（2）若x，y，z∈R⁺，且x+y+z=xyz，要證的不等式等價于

yz(y+z)+xz(x+z)+xy(x+y)

xyz

≥2（

yz+xz+xy

xyz

），
等價于 yz（y+z）+xz（x+z）+xy（x+y）≥2（yz+xz+xy），
等價于xyz[yz（y+z）+xz（x+z）+xy（x+y）]≥2（yz+xz+xy）²，
等價于（x+y+z）（y²z+yz²+x²z+xz²+x²y+xy²）≥2（x²y²+z²y²+z²x²）+4（x²yz+y²xz+z²xy），
等價于y³z+yz³+x³z+xz³+x³y+xy³≥2x²yz+2y²xz+2z²xy，
等價于yz（y-z）²+xz（x-z）²+xy（x-y）²+x²（y-z）²+y²（x-z）²+z²（y-x）²≥0．
而上式顯然成立，故原不等式成立．
∵上式顯然成立，∴原不等式得證．

點評：本題主要考查用綜合法證明不等式成立，式子的變形是解題的關(guān)鍵和難點，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．