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8.如圖,E是矩形ABCD中AD邊上的點,F(xiàn)是CD上的點,AB=AE=23AD=4,現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置,并使平面PBE⊥平面BCDE,且平面PBE⊥平面PEF.
(1)求DFFC的比值;
(2)求二面角E-PB-C的余弦值.

分析 (1)以D為原點,DE為x軸,DC為y軸,過D作平面BCDE的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出DFFC的比值.
(2)求出平面PBC的法向量和平面PBE的法向量,利用向量法能求出二面角E-PB-C的余弦值.

解答 解:(1)以D為原點,DE為x軸,DC為y軸,過D作平面BCDE的垂線為z軸,
建立空間直角坐標系,
P(4,2,22),B(6,4,0),E(2,0,0),設(shè)F(0,t,0),
PB=(2,2,-22),PE=(-2,-2,-22),PF=(-4,t-2,-22),
設(shè)平面PBE的法向量n=(x,y,z),
{nPB=2x+2y22z=0nPE=2x2y22z=0,取x=1,得n=(1,-1,0),
設(shè)平面PEF的法向量m=(a,b,c),
{mPE=2a2b22c=0mPF=4a+t2b22c=0,取b=2,得m=(t,2,-t+22),
∵平面PBE⊥平面PEF,
nm=t-2=0,解得t=2.
∴DF=2,F(xiàn)C=4-2=2,
DFFC=1.
(2)C(0,4,0),PB=(2,2,-22),PC=(-4,2,-22),
設(shè)平面PBC的法向量p=(x1,y1,z1),
{pPB=2x+2y22z=0pPC=4x+2y22z=0,取y=2,得p=(0,2,1),
由(1)得平面PBE的法向量n=(1,-1,0),
cos<mn>=mn|m||n|=232=-33,
由圖形得二面角E-PB-C的平面角為銳角,
∴二面角E-PB-C的余弦值為33

點評 本題考查兩線段比值的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

練習(xí)冊系列答案
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a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,記S=n1i=0|f(xi+1)-f(xi)|.若存在與n及xi(i≤n,i∈N)均無關(guān)的正數(shù)A,使得S≤A恒成立,則稱f(x)在區(qū)間[a,b]上具有性質(zhì)V.
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(2)若函數(shù)f(x)=xex,給定區(qū)間為[0,2],求S的最大值;
(3)對于給定的實數(shù)k,求證:函數(shù)f(x)=klnx-12x2 在區(qū)間[1,e]上具有性質(zhì)V.

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