分析 (1)以D為原點,DE為x軸,DC為y軸,過D作平面BCDE的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出DFFC的比值.
(2)求出平面PBC的法向量和平面PBE的法向量,利用向量法能求出二面角E-PB-C的余弦值.
解答 解:(1)以D為原點,DE為x軸,DC為y軸,過D作平面BCDE的垂線為z軸,
建立空間直角坐標系,
P(4,2,2√2),B(6,4,0),E(2,0,0),設(shè)F(0,t,0),
→PB=(2,2,-2√2),→PE=(-2,-2,-2√2),→PF=(-4,t-2,-2√2),
設(shè)平面PBE的法向量→n=(x,y,z),
則{→n•→PB=2x+2y−2√2z=0→n•→PE=−2x−2y−2√2z=0,取x=1,得→n=(1,-1,0),
設(shè)平面PEF的法向量→m=(a,b,c),
則{→m•→PE=−2a−2b−2√2c=0→m•→PF=−4a+(t−2)b−2√2c=0,取b=2,得→m=(t,2,-t+2√2),
∵平面PBE⊥平面PEF,
∴→n•→m=t-2=0,解得t=2.
∴DF=2,F(xiàn)C=4-2=2,
∴DFFC=1.
(2)C(0,4,0),→PB=(2,2,-2√2),→PC=(-4,2,-2√2),
設(shè)平面PBC的法向量→p=(x1,y1,z1),
則{→p•→PB=2x+2y−2√2z=0→p•→PC=−4x+2y−2√2z=0,取y=√2,得→p=(0,√2,1),
由(1)得平面PBE的法向量→n=(1,-1,0),
cos<→m,→n>=→m•→n|→m|•|→n|=−√2√3•√2=-√33,
由圖形得二面角E-PB-C的平面角為銳角,
∴二面角E-PB-C的余弦值為√33.
點評 本題考查兩線段比值的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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