Question

已知橢圓的離心率為，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點M（3，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知，所以，
所以a²=4b²，c²=3b²所以
又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為
所以b=1
所以
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
設(shè)AB：y=k（x-3）與橢圓聯(lián)立得
整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0得
=
由點P在橢圓上得，36k²=t²（1+4k²）
又由，即
所以
所以（1+k²）（x₁-x₂）²＜3（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3（1+k²）＜3
整理得：（8k²-1）（16k²+13）＞0
所以
所以
由36k²=t²（1+4k²）得
所以3＜t²＜4，所以或．
分析：（1）利用離心率求得a和c關(guān)系，進(jìn)而利用橢圓方程中a，b和c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，最后利用過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長求得b，則a可求得，橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)和AB的直線方程與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得k的范圍，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用求得k和t的關(guān)系，把點P坐標(biāo)代入橢圓的方程，利用求得k的范圍，進(jìn)而利用k和t的關(guān)系求得t的范圍．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的過程一般是把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和判別式來作為解題的關(guān)鍵．