Question

（2012•惠州模擬）已知函數(shù)f（x）=sin（ωy+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個最低點間的距離為2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α∈（-

π

3

，

π

2

），f（α+

π

3

）=

1

3

，求sin(2α+

2π

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為2π，確定函數(shù)的周期，求出ω，確定?的值，求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a∈（-

π

3

，

π

2

），f（a+

π

3

）=

1

3

，求出cos（α+

π

3

）=

1

3

和sin（α+

π

3

）=

2 2

3

，然后用二倍角公式求出它的值．

解答：解：（Ⅰ）∵圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為2π，
∴T=2π，則ω=

2π

T

=1．
∴f（x）=sin（x+?）．
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴?=kπ+

π

2

（k∈Z），又0≤?≤π，
∴?=

π

2

則 f（x）=cosx．
（Ⅱ）由已知得cos（a+

π

3

）=

1

3

，
∵a∈（-

π

3

，

π

2

），
∴α+

π

3

∈（0，

5π

6

）．
則sin（α+

π

3

）=

2 2

3

，
∴sin(2a+

2π

3

)=2sin（α+

π

3

）cos（α+

π

3

）=2×

2 2

3

×

1

3

=

4 2

9

．

點評：本題是中檔題，考查函數(shù)解析式的求法和二倍角的應(yīng)用，考查計算能力，根據(jù)角的范圍求出三角函數(shù)值是本題的解題依據(jù)．