Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a+{2^{-x}}，\;\;\;x≤0\\ f（x-1），\;x＞0\end{array}$，記g（x）=f（x）-x，若函數(shù)g（x）有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）．

Answer 1

分析 由函數(shù)解析式知，當(dāng)x＞0時，f（x）是周期為1的函數(shù)，易求x＜1，f（x）=2^1-x+a，依題意，得方程2^1-x=x-a有且僅有兩解，在同一坐標(biāo)系中作出y=2^1-x與y=x-a圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵x＞0時，f（x）=f（x-1）
∴當(dāng)x＞0時，f（x）是周期為1的函數(shù)，
設(shè)x＜1，則x-1＜0，
f（x）=f（x-1）=2^1-x+a；
即x＜1，f（x）=2^1-x-a，
∵f（x）=x有且僅有兩個實數(shù)根，∴方程2^1-x=x-a有且僅有兩解，
在同一坐標(biāo)系中作出y=2^1-x與y=x-a圖象如右圖：
∴f（x）=x有且僅有兩個實數(shù)根，只要直線y=x-a介于圖中藍(lán)色直線下方即可．
依f（x）=2^1-x可求出A點坐標(biāo)為（0，2），B點坐標(biāo)為（1，2），
∵A，B兩點均為虛點，
∴-2＜a．
故答案為：（-2，+∞）．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，著重考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，作圖是關(guān)鍵，也是難點，考查等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．