Question

7．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，BE=BF=$\frac{1}{4}$BC，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于A′點，則三棱錐A′-EFD的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{21}}}{12}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{12}$
• C． $\frac{{\sqrt{21}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{17}}}{6}$

Answer 1

分析 由A′D⊥A′E，A′D⊥A′F得A′D⊥平面A′EF，故而V_A′-EFD=V_D-A′EF=$\frac{1}{3}{S}_{△A′EF}•A′D$，利用余弦定理求出∠EA′F，即可得出S_△A′EF，從而得出三棱錐的體積．

解答 解：∵∠EA′D=∠FA′D=90°，
∴A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E?平面A′EF，A′F?平面A′EF，A′E∩A′F=A′，
∴A′D⊥平面A′EF，
∵A′E=A′F=$\frac{3}{2}$，BE=BF=$\frac{1}{2}$，BE⊥BF，
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴cos∠EA′F=$\frac{A′{E}^{2}+A′{F}^{2}-E{F}^{2}}{2A′E•A′F}$=$\frac{8}{9}$，
∴sin∠EA′F=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠EA′F}$=$\frac{\sqrt{17}}{9}$，
∴S_△A′EF=$\frac{1}{2}$A′E•A′F•sin∠EA′F=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{17}}{9}$=$\frac{\sqrt{17}}{8}$，
∴V_A′-EFD=V_D-A′EF=$\frac{1}{3}{S}_{△A′EF}•A′D$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{17}}{8}×2$=$\frac{\sqrt{17}}{12}$．
故選：B．

點評 本題考查了余弦定理，棱錐的體積計算，屬于中檔題．