Question

18．如圖（1）E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿著EF將△AEF折起，記二面角A-EF-C的度數(shù)為θ．
（Ⅰ）當(dāng)θ=90°時，即得到圖（2）求二面角A-BF-C的余弦值；
（Ⅱ）如圖（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AE⊥平面CEFB，過點E向BF作垂線交BF延長線于H，連接AH，則∠AHE為二面角A-BF-C的平面角，由此能求出二面角A-BF-C的余弦值．
（Ⅱ）過點A向CE作垂線，垂足為G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，
∴AE⊥平面CEFB，
過點E向BF作垂線交BF延長線于H，連接AH，
則∠AHE為二面角A-BF-C的平面角
設(shè)$BC=2a，則EF=a，AB=4a，AC=2\sqrt{3}a$，
$AE=\sqrt{3}a$，$EH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
∴$cos∠AHE=\frac{EH}{AH}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}a}}{{\sqrt{3{a^2}+\frac{3}{4}{a^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴二面角A-BF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．（7分）
（Ⅱ）過點A向CE作垂線，垂足為G，如果AB⊥CF，
則根據(jù)三垂線定理有GB⊥CF，
∵△BCF為正三角形，∴$CG=BCtan3{0}^{°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，則$GE=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
∵$AE=\sqrt{3}a$，∴$cosθ=\frac{GE}{AE}=\frac{1}{3}$，
∴cosθ的值為$\frac{1}{3}$．（15分）

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．