已知在如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1中,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,求證:OO1⊥平面AC.

證法一:連結O1A和O1C,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,∵AA1⊥A1B1,AA1⊥A1D1,且A1B1∩A1D1=A1,

∴A1A⊥平面A1C1.∵A1C1平面A1C1,∴A1A⊥A1C1.同理,CC1⊥A1C1.

∵A1O1=O1C1,AA1=CC1,

∴△AA1O1≌△CC1O1,O1A=O1C.

∵O為AC中點,∴O1O⊥AC.

同理,O1O⊥BD.又AC∩BD=O,∴OO1⊥平面AC.

證法二:∵ABCD—A1B1C1D1為正方體,∴AA1⊥AB,AA1⊥AD.

∵AB∩AD=A,∴AA1⊥平面AC.

∵AA1BB1,BB1CC1,∴AA1CC1,四邊形AA1C1C為平行四邊形.

∵O、O1分別為AC、A1C1的中點,∴OO1∥AA1,OO1⊥平面AC.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：黃岡重點作業(yè)·高三數(shù)學（下） 題型：022

如圖所示，已知P為正方體ABCD—A1B1C1D1的側棱DD1的中點，過D作平面PAC的垂線，則該垂線與正方體表面的另一個交點Q(不同于D)的位置在________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：黑龍江省大慶實驗中學2011－2012學年高二9月月考數(shù)學試題 題型：044

如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y＝2上運動，過B做圓O的切線，切點為C，求△ABC垂心H的軌跡．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：全優(yōu)設計必修二數(shù)學蘇教版 蘇教版 題型：038

如圖所示，根據(jù)指令(r，)(其中r≥0，－180°＜≤180°)，機器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉角度(為正時，按逆時針方向旋轉；為負時，按順時針方向旋轉－)，再朝面對的方向沿直線行走距離r．

(1)現(xiàn)機器人在直角坐標系的坐標原點，且面對x軸正方向．試給機器人下一個指令，使其移動到點A(4，4)．

(2)機器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點(17，0)處有一小球正向坐標原點作勻速直線滾動．已知小球滾動的速度為機器人直線行走速度的2倍，若忽略機器人原地旋轉所需的時間，問機器人最快可在何處截住小球？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：同步題 題型：解答題

如圖所示，已知正方體ABCD- A1B1C1D1，棱長為a，在正方體內(nèi)隨機取一點P，求：
（1）點P到面ABCD的距離大于的概率P1；
（2）點P到面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率P2。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案