如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADC=45°,DC=
2
AD
,O為AC中點(diǎn),PO⊥平面ABCD,M為PD中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)證明:平面ADP⊥平面PAC.
分析:(Ⅰ)連接BD,在△DBP中,根據(jù)中位線定理,可得OM∥PB,再根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行求解;
(Ⅱ)在△ACD中,∠ADC=45°,DC=
2
AD
,根據(jù)余弦定理:cos∠ADC=
2
2
,從而求出AC=AD,再根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行求解;
解答:證明:(Ⅰ)連接BD,由于四邊形ABCD為平行四邊形,
則BD交AC于AC的中點(diǎn)O,
在△DBP中,O為BD的中點(diǎn),M為DP的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PB.(2分)
又OM?平面ACM,PB在平面ACM外,
所以PB∥平面ACM(5分)
(Ⅱ)在△ACD中,∠ADC=45°,DC=
2
AD
,
由余弦定理得,cos∠ADC=
|AD|2+|DC|2-|AC|2
2×|AD|×|DC|
=
2
2
,
可得AC=AD,即∠ACD=45°,所以AD⊥AC.(7分)
因?yàn)�,PO⊥平面ABCD,所以,PO⊥AD,(8分)
又PO∩AC=O,所以,AD⊥平面PAC,(10分)
又AD?平面ADP,所以,平面ADP⊥平面PAC.(12分)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查空間立體幾何的性質(zhì),線面平行和面面垂直的判定定理,此題是一道中檔題,也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題;
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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