Question

設(shè)f(x)是定義在R上的減函數(shù)，滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(0)＝1，數(shù)列{a_n}滿足a₁＝4，f(log₃)f(－1－log₃)＝1(n∈N^*)；

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與6n²－2的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題設(shè)知f(log3·f(－1－log3＝1(n∈N*)可化為 　　，∵y＝f(x)是定義在R上的單調(diào)減函數(shù)， 　　∴即 　　∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴l(xiāng)og3即an＝　　6分 　　(Ⅱ)Sn＝a1＋a2＋a3＋···＋an＝4(1＋31＋32＋···＋3n－1)＝2(3n－1) 　　當(dāng)n＝1時有Sn＝6n2－2＝4；當(dāng)n＝2時有Sn＝16＜6n2－2＝22；當(dāng)n＝3時有Sn＝6n2－2＝52； 　　當(dāng)n＝4時有Sn＝160＞6n2－2＝94；當(dāng)n＝5時有Sn＝484＞6n2－2＝148． 　　由此猜想當(dāng)n≥4時，有Sn＞6n2－23n－1＞n2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　�、佼�(dāng)n＝1時顯然成立； 　�、诩僭O(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N*)時，有3k－1＞k2；當(dāng)n＝k＋1時，有3k＝3·3k－1＞3k2， 　　∵k≥4　∴k(k－1)≥12，∴3k2－(k－1)2＝2k(k－1)－1＞0即3k2＞(k＋1)2，∴3k＞3k2＞(k＋1)2，∴3k＞(k＋1)2，因此當(dāng)n＝k＋1時原式成立． 　　由①②可知當(dāng)n≥4時有3n－1＞n2即Sn＞6n2－2． 　　綜上可知當(dāng)n＝1，3時，有Sn＝6n2－2；當(dāng)n＝2時，有Sn＜6n2－2；當(dāng)n≥4時，有Sn＞6n2－2　　12分