【題目】在多面體中，正方形和矩形互相垂直，，分別是和的中點，.

（Ⅰ）求證：平面.

（Ⅱ）在邊所在的直線上存在一點，使得平面，求的長；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由面面垂直的性質(zhì)可證明線面垂直.

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，設(shè)，求出平面的一個法向量為，利用方向向量和法向量垂直可得，從而可求出的坐標，進而可求出的長.

(Ⅲ)求直線的方向向量，結(jié)合(Ⅱ)的法向量可求出線面角的正弦值.

證明：（I）由于正方形和矩形互相垂直，交線為，

由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面.

（Ⅱ）以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，設(shè)，那么

，，，設(shè)平面的法向量為，則有，取平面的一個法向量為，

要得平面，則，求得，的長為.

（III），由（2）知平面的一個法向量為，

設(shè)直線與平面所成角的大小為，則

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以下統(tǒng)計表和分布圖取自《清華大學(xué)2019年畢業(yè)生就業(yè)質(zhì)量報告》.

則下列選項錯誤的是（ ）

A.清華大學(xué)2019年畢業(yè)生中，大多數(shù)本科生選擇繼續(xù)深造，大多數(shù)碩士生選擇就業(yè)

B.清華大學(xué)2019年畢業(yè)生中，碩士生的就業(yè)率比本科生高

C.清華大學(xué)2019年簽三方就業(yè)的畢業(yè)生中，本科生的就業(yè)城市比碩士生的就業(yè)城市分散

D.清華大學(xué)2019年簽三方就業(yè)的畢業(yè)生中，留北京人數(shù)超過一半

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國古代勞動人民在筑城、筑堤、挖溝、挖渠、建倉、建囤等工程中，積累了豐富的經(jīng)驗，總結(jié)出了一套有關(guān)體積、容積計算的方法，這些方法以實際問題的形式被收入我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中．《九章算術(shù)商功》：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣．”下圖解釋了這段話中由一個長方體，得到“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”的過程．已知如圖塹堵的棱長，則鱉臑的外接球的體積為_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號，鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機選取45名學(xué)生進行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占，統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表：

分數(shù)不少于120分

分數(shù)不足120分

合計

線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時

4

19

線上學(xué)習(xí)時間不足5小時

合計

45

（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”；

（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.

（下面的臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定點S( -2，0) ，T(2，0)，動點P為平面上一個動點，且直線SP、TP的斜率之積為.

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點B為軌跡E與y軸正半軸的交點，是否存在直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+pn，且a4，a7，a12成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2013年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著下圖是2013-2017年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述正確的是（ ）.

A.這五年，2013年出口額最少

B.這五年，出口總額比進口總額多

C.這五年，出口增速前四年逐年下降

D.這五年，2017年進口增速最快

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如某體育品牌的LOGO為，可抽象為如圖所示的軸對稱的優(yōu)美曲線，下列函數(shù)中，其圖象大致可“完美”局部表達這條曲線的函數(shù)是( )

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，，在底面上的投影為的中點，.有下列結(jié)論：

①三棱錐的三條側(cè)棱長均相等；

②的取值范圍是；

③若三棱錐的四個頂點都在球的表面上，則球的體積為；

④若，是線段上一動點，則的最小值為.

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

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