Question

設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a²x（a＞0，b∈R）的兩個極值點，且丨x₁-x₂丨=2．
（Ⅰ）用a的代數(shù)式表示b²；
（Ⅱ）求證：0＜a≤1；
（Ⅲ）求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x₁，x₂是f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a²x（a＞0）的兩個極值點，知x₁，x₂是f′（x）=0的兩個根，得到x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

，則|x₁-x₂|=

b2 a2 +4a

=2，即可得到a的代數(shù)式表示b²；
（Ⅱ）由于b²≥0，即得證；
（Ⅲ）由x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=4，知b²=4a²（1-a），令g（a）=4a²（1-a）=-4a³+4a²，得到g′（a）=-4a（3a-2）．由此能夠得到函數(shù)的最大值，進而得到b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）易得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a²x（a＞0）的兩個極值點
∴x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²=0的兩個實根
又a＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 +4a

∵|x₁-x₂|=2，∴

b2

a2

+4a=4，即b²=4a²-4a³=4a²（1-a），
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²（1-a），
∵b²≥0，∴0＜a≤1
（Ⅲ）由（Ⅰ）知b²=4a²（1-a），
令g（a）=4a²（1-a）=-4a³+4a²，則g′（a）=-4a（3a-2）．
由g′（a）＞0，得0＜a＜

2

3

，由g′（a）＜0，得

2

3

＜a≤1，
∴g（a）在(0，

2

3

)上單調(diào)遞增，在(

2

3

，1]上單調(diào)遞減
∴當a=

2

3

時，g（a）取得極大值也是最大值．
∴g(a)max=g(

2

3

 )=

16

27

∴b的取值范圍：|b|≤

4 3

9

．

點評：本題考查導數(shù)在最大值、最小值中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．