若a>0,b>0,a3+b3=2,求證:a+b≤2,ab≤1.
見解析
解析證明:方法一:因?yàn)閍>0,b>0,a3+b3=2,所以
(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=
-3(a+b)(a-b)2≤0.
即(a+b)3≤23,又a+b>0,所以a+b≤2,因?yàn)?≤a+b≤2,所以ab≤1.
方法二:設(shè)a,b為方程x2-mx+n=0的兩根,則因?yàn)閍>0,b>0,所以m>0,n>0,
且Δ=m2-4n≥0.、
因?yàn)?=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m(m2-3n),
所以n=-. ②
將②代入①得m2-4≥0,
即≥0,所以-m3+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2,
由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n,
即n≤1,所以ab≤1.
方法三:因?yàn)閍>0,b>0,a3+b3=2,所以2=a3+b3=
(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),
于是有6≥3ab(a+b),從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b≤2(以下略).
方法四:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/7/g9d1s1.png" style="vertical-align:middle;" />-
=
=≥0,
所以對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,有≥.
因?yàn)閍>0,b>0,a3+b3=2,所以1=≥,
所以≤1,即a+b≤2(以下略).
方法五:假設(shè)a+b>2,則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
=(a+b)[(a+b)2-3ab]≥(a+b)ab>2ab,所以ab<1.
又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab),且a3+b3=2,
所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾,故a+b≤2(以下略).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)求不等式的解集;
(2)若關(guān)于的不等式的解集非空,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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