Question

（本小題滿分10分）

如圖，AB是⊙O的直徑 ，AC是弦 ，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.OE交AD于點(diǎn)F.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角相等來(lái)求解直線DE⊥OD，同時(shí)OD是圓的半徑來(lái)說(shuō)明是切線

（2）根據(jù)題意可知△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB

求解得到AE，又由△AEF∽△DOF，得到比值。

【解析】

試題分析：略證 （１） 連結(jié)OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2分

∴OD∥AE  又AE⊥DE             …………3分

∴DE⊥OD，又OD為半徑 ∴ DE是的⊙O切線 …………5分

⑵ 提示：過(guò)D作DH⊥AB于H 則有∠DOH=∠CAB

 

Cos∠DOH=cos∠CAB=   ……………………6分

設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=3x，DH=4x

∴AH=8x   AD²=80x²

由△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB=AC·10x  

∴AE=8X…………8分

又由△AEF∽△DOF   可得AF∶DF= AE∶OD =；

∴=……10分

考點(diǎn)：圓的切線問(wèn)題，以及相似比的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用垂直關(guān)系證明相切同時(shí)利用相似比來(lái)求解比值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題。