Question

若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．

（Ⅰ）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前項積為，即，求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，求數(shù)列的前項和，并求使的的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)； (Ⅲ），

【解析】

試題分析：(Ⅰ)將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，由定義可知是“平方遞推數(shù)列”. 由得是以為首項，2為公比的等比數(shù)列；

（Ⅱ)先由(Ⅰ)中等比數(shù)列得，故：；

(Ⅲ）先求得，再求，由，得，從而解得.

試題解析：（I）由題意得：，  即 ，

則是“平方遞推數(shù)列”．                        2分

又有得是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．4分

（II）由（I）知 ，                     5分

．8分

（III） ，                            9分

 ，                               10分

又，即，，

又 ， ．                          13分

考點：1.等比數(shù)列的判定；2.數(shù)列求和；3.數(shù)列不等式的解法