Question

（2013•濟南一模）已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若a=1，求曲線f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；
（2）若a＜0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a=-1，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入，可求得f（1）=e，f′（1）=4e，由點斜式可得方程；（2）求導數(shù)，分a=-

1

2

，a＜-

1

2

，-

1

2

＜a＜0，三種情況討論；（3）原問題等價于f（x）-g（x）的圖象與x軸有3個不同的交點，即y=m與y=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²的圖象有3個不同的交點，構造函數(shù)F（x）=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²，求導數(shù)可得極值點，數(shù)形結合可得答案．

解答：解：∵f（x）=（ax²+x-1）e^x，∴f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=（ax²+2ax+x）e^x，
（1）當a=1時，f（1）=e，f′（1）=4e，故切線方程為y-e=4e（x-1），
化為一般式可得4ex-y-3e=0；
（2）當a＜0時，f′（x）=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
若a=-

1

2

，f′（x）=-

1

2

x²e^x＜0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
若a＜-

1

2

，當x∈（-∞，-2-

1

a

）和（0，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當x∈（-2-

1

a

，0）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若-

1

2

＜a＜0，當x∈（-∞，0）和（-2-

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當x∈（0，-2-

1

a

）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（3）若a=-1，f（x）=（-x²+x-1）e^x，可得f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²-m，
原問題等價于f（x）-g（x）的圖象與x軸有3個不同的交點，
即y=m與y=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²的圖象有3個不同的交點，
構造函數(shù)F（x）=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²，
則F′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-x²-x
=（-x²-x）e^x-x²-x=-x（x+1）（e^x+1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1，
且當x∈（-∞，-1）和（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當x∈（-1，0）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
故函數(shù)F（x）在x=-1處取極小值F（-1）=-

3

e

-

1

6

，在x=0處取極大值F（0）=-1，
要滿足題意只需∈（-

3

e

-

1

6

，-1）即可．
故實數(shù)m的取值范圍為：（-

3

e

-

1

6

，-1）

點評：本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，涉及根的個數(shù)的判斷，屬中檔題．