Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1 b x，              x≤0 (x2-2ax)ex， x＞0

在x=1處取得極值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)g(x)=

lnx

f(-x)

+b，若?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，求出f′（x），根據(jù)極值點滿足f′（x）=0，列出方程，求解即可得到實數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域，要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，分b＞0和b＜0兩種情況分別求出實數(shù)m的取值范圍，最后取并集即可得到實數(shù)m的取值范圍；
（3）“?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂）”等價于“f（x₁）_min≥g（x₂）_min”，由（2）可求出f（x₁）在x1∈(0，

3

2

]上的最小值，然后利用分類討論b求出g（x₂）在x2∈[

1

e

，e]上最小值，即可求出實數(shù)b的取值范圍．

解答：解（1）∵函數(shù)f(x)=

1 b x，              x≤0 (x2-2ax)ex， x＞0

，
∴x＞0時，f（x）=（x²-2ax ）e^x，
∴f′（x）=（x²-2ax ）e^x+（2x-2a）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，即[1+2（1-a）×1-2a]•e¹=0，
∴a=

3

4

；
（2）由（1）可知，a=

3

4

，
∴當(dāng)x＞0時，f（x）=（x²-

3

2

x）e^x，
∴f′（x）=

1

2

e^x（x-1）（2x+3），
∵當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值f（1）=-

e

2

，
∴f（x）∈[-

e

2

，+∞），
∵函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，
①若b＞0時，f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m=0或m=-

e

2

時，y=f（x）-m有兩個零點；
②若b＜0時，f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)m＞-

e

2

時，y=f（x）-m有兩個零點．
綜合①②可得，當(dāng)b＞0時，實數(shù)m的取值范圍為m=0或m=-

e

2

，當(dāng)b＜0時，實數(shù)m的取值范圍為m＞-

e

2

；
（3）由（2）可知f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，

3

2

）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得最小值f（1）=-

e

2

，即f（x₁）在x1∈(0，

3

2

]上的最小值-

e

2

，
∵函數(shù)g(x)=

lnx

f(-x)

+b的定義域為（0，+∞），
∴g（x）=

-blnx

x

+b=b（1-

1nx

x

），則g′（x）=

b(lnx-1)

x2

，x∈[

1

e

，e]，
由題意可知b≠0，
①當(dāng)b＞0時，g′（x）＜0，即g（x₂）在x2∈[

1

e

，e]上單調(diào)遞減，最小值為g（e）=b（1-

1

e

），
而“?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂）”等價于“f（x₁）_min≥g（x₂）_min”，
則-

e

2

≥b（1-

1

e

），且b＞0，無解，
②當(dāng)b＜0時，g′（x）＞0，即g（x₂）在x2∈[

1

e

，e]上單調(diào)遞增，最小值為g（

1

e

）=b（1+e），
而“?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂）”等價于“f（x₁）_min≥g（x₂）_min”，
則-

e

2

≥b（1+e），且b＜0，解得b≤-

e

2(1+e)

，
綜上所述：實數(shù)b的取值范圍是b≤-

e

2(1+e)

．

點評：本題考查函數(shù)在某點存在極值的條件，函數(shù)的零點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．解題時要注意運用極值點必定是導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，而導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根不一定是極值點．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，然后求出跟對應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．