Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為正方形ABCD的中心，M為D₁D的中點．
（Ⅰ）求證：異面直線B₁O與AM垂直；
（Ⅱ）求二面角B₁-AM-B的大��；
（Ⅲ）若正方體的棱長為a，求三棱錐B₁-AMC的體積．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設AD的中點為N，連結ON，確定A₁N為B₁O在平面ADD₁A₁內(nèi)的射影，證明Rt△A₁AN≌Rt△ADM，即可證明異面直線B₁O與AM垂直；
（Ⅱ）利用面積比，求二面角B₁-AM-B的大�。�
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，B₁O⊥平面AMC．所以V_B1-AMC=

1

3

B₁O×S_△AMC，即可求三棱錐B₁-AMC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：設AD的中點為N，連結ON，
由O為正方形ABCD的中心，得ON⊥平面ADD₁A₁．
又AA₁⊥平面ADD₁A₁，所以A₁N為B₁O在平面ADD₁A₁內(nèi)的射影．
在正方形ADD₁A₁中，Rt△A₁AN≌Rt△ADM，
∴∠AA₁N=∠MAD，
∴∠AA₁N+∠A₁AM=

π

2

，
∴A₁N⊥AM，
∴B₁O⊥AM；
（Ⅱ）解：設正方體的棱長為2，則AM=

5

，B₁A=2

2

，B₁M=3，∴cos∠MB₁A=

9+8-5

2×3×2 2

=

2

2

，
∴sin∠MB₁A=45°，
∴S△AB1M=

1

2

×3×2

2

×

2

2

=3，
△AMB中，AM=

5

，BA=2，BM=3，∴S_△AMB=

1

2

×2×

5

=

5

，
∴二面角B₁-AM-B的余弦值為

5

3

，
∴二面角B₁-AM-B的大小為arccos

5

3

；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，B₁O⊥平面AMC．所以V_B1-AMC=

1

3

B₁O×S_△AMC
因棱長為a，所以B₁O=

6

2

a，S_△AMC=

1

2

×MO×AC=

1

2

3

2

a

2

a=

6

4

a²
故V_B1-AMC=

1

3

×

6

2

a×

6

4

a²=

1

4

a³．

點評：本題考查二面角的平面角及求法，考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．