Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，a、b∈R，x=a是f（x）的一個極大值點；
（Ⅰ）若a=0，求b的取值范圍；
（Ⅱ） 當a是給定的實常數(shù)，設(shè)x₁x₂x₃是f（x）的3個極值點，問是否存在實數(shù)b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列x₁，x₂，x₃，x₄（其中{i₁，i₂，i₃}={1，2，3，4}）依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應的x₄；若不存在，說明理由、

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我們易求出a=0時，函數(shù)的解析式及其導函數(shù)的解析式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²+（b+3）x+2b，結(jié)合x=a是f（x）的一個極大值點，我們分析函數(shù)g（x）=x²+（b+3）x+2b的兩個零點與0的關(guān)系，即可確定b的取值范圍；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我們易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x₁、a、x₂是f（x）的三個極值點，且x1=

(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，x2=

(a-b-3)+ (a+b-1)2+8

2

，分別討論x₁、a、x₂是x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列構(gòu)造等差數(shù)列時其中三項，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）解：a=0時，f（x）=x²（x+b）e^x，∴f'（x）=[x²（x+b）]^′e^x+x²（x+b）（e^x）^′=e^xx[x²+（b+3）x+2b]，
令g（x）=x²+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）²-8b=（b-1）²+8＞0，∴設(shè)x₁＜x₂是g（x）=0的兩個根，
（1）當x₁=0或x₂=0時，則x=0不是極值點，不合題意；
（2）當x₁≠0且x₂≠0時，由于x=0是f（x）的極大值點，故x₁＜0＜x₂．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．
（Ⅱ）解：f'（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，則△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假設(shè)x₁，x₂是g（x）=0的兩個實根，且x₁＜x₂．
由（Ⅰ）可知，必有x₁＜a＜x₂，且x₁、a、x₂是f（x）的三個極值點，
則x1=

(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，x2=

(a-b-3)+ (a+b-1)2+8

2

假設(shè)存在b及x₄滿足題意，
（1）當x₁，a，x₂等差時，即x₂-a=a-x₁時，
則x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，
于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．
此時x₄=2x₂-a=a-b-3+

(a+b-1)2+8

-a=a+2

6

或x₄=2x₁-a=a-b-3-

(a+b-1)2+8

-a=a-2

6

（2）當x₂-a≠a-x₁時，則x₂-a=2（a-x₁）或（a-x₁）=2（x₂-a）
①若x₂-a=2（a-x₁），則x4=

a+x2

2

，
于是3a=2x1+x2=

3(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，
即

(a+b-1)2+8

=-3(a+b+3)．
兩邊平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b-1=

-9- 13

2

，
此時b=-a-

7+ 13

2

，
此時x4=

a+x2

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1+ 3

2

．
②若（a-x₁）=2（x₂-a），則x4=

a+x1

2

，
于是3a=2x2+x1=

3(a-b-3)+ (a+b-1)2+8

2

，
即

(a+b-1)2+8

=3(a+b+3)．
兩邊平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b-1=

-9+ 13

2

，
此時b=-a-

7- 13

2

此時x4=

a+x1

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1- 13

2

綜上所述，存在b滿足題意，
當b=-a-3時，x4=a±2

6

，
b=-a-

7+ 13

2

時，x4=a+

1+ 13

2

，
b=-a-

7- 13

2

時，x4=a+

1- 13

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識．