數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an2+6an+6(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)bn=
1
an-6
-
1
an+1-6an
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:-
5
16
≤Tn<-
1
4
分析:(I)確定數(shù)列{lg(an+3)}是以lg(a1+3)=lg5為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,從而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)確定數(shù)列的通項(xiàng),再求和,從而可得結(jié)論.
解答:(I)解:由an+1=an2+6an+6得:an+1+3=(an+3)2     
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得:lg(an+1+3)=2lg(an+3)
∴數(shù)列{lg(an+3)}是以lg(a1+3)=lg5為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列
∴l(xiāng)g(an+3)=lg5•2n-1
∴an=52n-1-3                 …(4分)
(II)證明:∵an2+6an=an+1-6,
∴bn=
1
an-6
-
1
an+1-6
               …(6分)
∴Tn=
1
a1-6
-
1
a2-6
+…+
1
an-6
-
1
an+1-6
=
1
a1-6
-
1
an+1-6
=-
1
4
-
1
52n-9
  …(9分)
∵n≥1,∴2n≥2,∴52n≥25
52n-9≥16,∴0<
1
52n-9
1
16

∴-
1
16
≤-
1
52n-9
<0,
∴-
5
16
≤-
1
4
-
1
52n-9
<-
1
4

∴-
5
16
≤Tn<-
1
4
             …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查等比數(shù)列的通項(xiàng),考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=
nban-1an-1+n-1
(n≥2)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(4)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1+1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=
an-1an-2
(n≥3)
,則a17等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0,數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=a+
1
an
,n=1,2,….

(I)已知數(shù)列{an}極限存在且大于零,求A=
lim
n→∞
an
(將A用a表示);
(II)設(shè)bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=-
bn
A(bn+A)
;
(III)若|bn|≤
1
2n
對(duì)n=1,2,…
都成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=1,an=
12
an-1+1(n≥2)

(1)若bn=an-2,求證{bn}為等比數(shù)列;    
(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是( �。�

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